앞면이 0회, 1회, 2회 나오는 확률은 각각 1/4, 1/2, 1/4가 된다. 왜냐하면 앞면이 0회나오는 사건은(T, T)의 1가지 경우, 앞면이 1회 나오는 사건은 (H, T),(T, H)의 2가지 경우, 앞면이 2회 나오는 사건은(H, H)의 1가지 경우로 이루어지고 있기 때문이다. 이 때에 앞면이 0회, 1회, 2회 나오는 사건을 동등하다고 생각하여 각각 1/3, 1/3, 1/3으로 생각해서는 안된다.

-확률변수  x 는 각 학생들의 키의 측정치이다.

그림(a)연속확률변수 X의 누적분포함수

그림(b)이산확률변수 X의 누적분포함수

누적분포함수의 성질

1. 항상 0에서 1사이의 값만을 가질 수 있다.

2. x의 값이 커짐에 따라 증가하는 증가 함수이다.

3. 확률변수 X의 값이 어떤 구간안에 속할 확률은  cdf값의 차이와 같다.

연속이든 이산이든 상관없이 성립한다.

연속확률변수

이산확률변수에서의 cdf는 일종의 계단형태의 모양을 가지게 된다.

특정 point에서 cdf값이 한번에 뛰어 오르기 때문에 연속한다고 하기 어렵다.

반면, 연속확률변수의 그래프는 직선 혹은 곡선, 혹은 두가지 복합된 형태로 나타날 수 있다.

계단 형태가 나온다면 최소한 연속확률변수라고 부르기 어렵다. 

ex1]

 

cdf 그래프로 나타내 보면 위와 같이 그릴 수 있다.

아래의 식으로 표현할 수 있다.

-확률밀도함수는 확률변수 X가 특정한 값 a와 b사이에 있을 확률, 즉 P(a<X<b) 값을 계산하는데 사용될 수 있다.

확률밀도함수의 성질

 확률밀도함수

이산확률변수 X의 확률질량함수는 다음과 같이 정의된다.

단, P(X=x)는 X가 x가 될 확률을 말한다.

확률질량함수는 어던 이산확률변수 X에 대한 확률모델이다.

즉, 표본공간을 구성하는 각각의 결과마다 어떤 확률을 부여한 것이다.

예를 들어, 앞면이 나올 확률이 0.8, 뒷면이 나올 확률이 0.2인 동전이 있다고 하자.

표본공간은 S={H, T}라고 하자. 이 확률실험를 확률변수 X로 나타내면, X는 앞 또는 뒤 둘 중 하나의 값을 가질 수 있다.

그러면 이 확률변수 X의 확률질량함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

주의할 것은 H와 T이외의 것이 아노는 것에 대해서는 확률이 0 이라고 표시를 해 주어야 한다.

값 H와 T에 각각 0.8과 0.2의 확률이 부여됐다.

또한 0.8, 0.2와 같은 숫자대신 확률변수 X가 가질 수 있는 값에 대한 관계식으로 함수를 표현할 수도 있다.

#include<opencv\cv.h>

#include<opencv\highgui.h>

using namespace cv;
using namespace std;
int main()
{
 Mat image;
 
 cout<<"size:"<<image.size().height<<","<<image.size().width<<endl;
 
 return 0;

}

#include<opencv\cv.h>
#include<opencv\highgui.h>

using namespace cv;
using namespace std;
int main()
{
 int w=150,h=100;
 Mat image(h,w,CV_8UC1);
 
 cout<<"size:"<<image.size().height<<","<<image.size().width<<endl;
 
 return 0;

}

#include<opencv\cv.h>
#include<opencv\highgui.h>

using namespace cv;
using namespace std;
int main()
{
 int w=150,h=100;
 Mat image(h,w,CV_8UC1,Scalar(255));
 
 cout<<"size:"<<image.size().height<<","<<image.size().width<<endl;
 imshow("image",image);
 waitKey(0);
 return 0;

}

#include<opencv\cv.h>
#include<opencv\highgui.h>

using namespace cv;
using namespace std;
int main()
{

 Mat image = imread("sistar.jpg",0); //Load image form disk
 if(!image.data) return -1; //Check image
 
 //Mat B=image.clone(); //새로운 복사본 생성
 Mat B=image; //같은 데이터를 참조하는 두 영상
 threshold(B, B, 100, 255, CV_THRESH_BINARY);

 imshow("sistar", image); //Show image
 imshow("B", B); //Show image
 waitKey(0); //Wait for keystroke
 return 0;

} 

#include<opencv\cv.h>
#include<opencv\highgui.h>

using namespace cv;
using namespace std;
int main()
{

 Mat image = imread("sistar.jpg"); //Load image form disk
 if(!image.data) return -1; //Check image
 
 Rect rect(100,30,150,300);
 Mat subimage=image(rect);
 imshow("sistarROI",subimage); //Show image
 
 waitKey(0); //Wait for keystroke
 return 0;

}

#include<opencv\cv.h>
#include<opencv\highgui.h>

using namespace cv;
using namespace std;
int main()
{
 double alpha=1.0;//1.0~3.0
 int beta=50;//0~100
 Mat image = imread("sistar.jpg"); //Load image form disk
 Mat new_image = Mat::zeros(image.size(),image.type());
 if(!image.data) return -1; //Check image
 
 
 for(int y = 0; y < image.rows; y++)
 {
  for(int x = 0;x < image.cols; x++)
  {
   for(int c = 0; c < 3; c++)
   {
    new_image.at<Vec3b>(y,x)[c]=
     saturate_cast<uchar>(alpha * (image.at<Vec3b>(y,x)[c]) + beta);
   }
  }
 }
 imshow("sistar",new_image); //Show image
 
 waitKey(0); //Wait for keystroke
 return 0;

}

#include<opencv\cv.h>
#include<opencv\highgui.h>

using namespace cv;

int main()
{
     Mat image = imread("sistar.jpg"); //Load image form disk
     if(!image.data) return -1; //Check image
     //Cut of picture
     Rect rect = Rect(100, 30, 500, 100); //Rectangle cut
     Mat image3;
     image(rect).copyTo(image3); //Copy of the image

     //Change the part of the picture inside the picture
     image(rect) *= 2;
     imshow("image changed", image);
 
     waitKey(0); //Wait for keystroke
     return 0;

}

#include <opencv2/core/core.hpp>

#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>

using namespace cv;

int main()
{
     Mat image = imread("sistar.jpg"); //Load image form disk
     if(!image.data) return -1; //Check image
     //Split the original image into three channels
     //channels[0],channels[1],channels[2]
     vector<Mat> channels;
     split(image, channels);

Mat image2;
threshold(channels[0], image2, 100, 255, CV_THRESH_BINARY);
imshow("Threadholded", image2);
waitKey(0); //Wait for keystroke
return 0;

}

#include <opencv2/core/core.hpp>

#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>

using namespace cv;

void main() {

Mat image = imread("sistar.jpg"); //Load image form disk
if(!image.data) exit(1); //Check image
//Split the original image into three channels
//channels[0],channels[1],channels[2]
vector<Mat> channels;

split(image, channels); //Partition image into three channel planes

imshow("Red", channels[2]);

imshow("Green", channels[1]);

imshow("Blue", channels[0]);

waitKey(0); //Wait for keystroke

}

창원대학생들의 키를 조사한다고 가정해면,

이 때 표본으로 몇몇 학생들의 키를 재어 보았다.

153cm, 167cm, 178cm, 181cm가 나왔다고 가정해보자.

이 때 우리는 다른 사람들에게 우리가 추출한 표본의 특징에 대해서 설명해줄 필요가 있다.

이 때 사용할 수 있는 것이 표본의 평균과 분산이다.

1. 같은 조건 아래에서 반복할 수 있으며,

2. 시행의 결과는 매번 우연히 변하므로 예측할 수 없으나, 가능한 모든 결과의 집합을 알 수 있고,

3. 시행을 반복할 때 결과는 각각 불규칙하게 나타나지만, 반복의 수를 늘리면 어떤 규칙성이 나타나는 특징을 가지는 행위를 확률실험이라고 한다.

관찰할 면을 지정하고, 일어날 수 있는 결과의 범위를 규정한 다음, 그 범위 내의 각 결과에 기호를 대응시킨 후 얻은 기호화된 결과의 집합을 표본공간이라고 한다.

표본공간의 부분 집합을 사건이라고 한다.

ex1]

ex2]

ex3]

A와 B 두개의 사건이 있을 경우, 사건 B가 일어날 확률이 이미 알려져 있을 경우에 사건 A가 일어날 확률

'the probability if A given B'

ex1]